Como encontrar a área de um trapezoide curvilíneo

Como encontrar a área de um trapezoide curvilíneo



O trapezoide curvilíneo é uma figura,delimitada pelo gráfico de uma função não negativa e contínua f no intervalo [a; b], o eixo OX e as linhas retas x = a e x = b. Para calcular sua área, use a fórmula: S = F (b) -F (a), onde F é a antiderivada para f.





Como encontrar a área de um trapezoide curvilíneo


















Você precisará




  • - um lápis;
  • - o punho;
  • - régua.




Instruções





1


Você precisa determinar quadrado curvilíneo trapezoide, delimitada pelo gráfico da função f (x). Encontre a antiderivada F para uma determinada função f. Construa um trapezoide curvilíneo.





2


Encontre vários pontos de controle para a funçãof, calcule as coordenadas da interseção do gráfico desta função com o eixo OX, se houver. Desenhe graficamente outras linhas predefinidas. Sombra a forma desejada. Encontre x = a e x = b. Calcular quadrado curvilíneo trapezoide, usando a fórmula S = F (b) -F (a).





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Exemplo I. Determine quadrado curvilíneo trapezoide, delimitada pela linha y = 3x-x2. Encontre a antiderivada para a função y = 3x-x2. Este será F (x) = 3 / 2x²-1 / 3x³. A função y = 3x-x2 é uma parábola. Seus ramos são direcionados para baixo. Encontre os pontos de interseção desta curva com o eixo OX.





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Da equação: 3x-x² = 0, segue-se que x = 0 e x = 3. Os pontos necessários são (0; 0) e (0; 3). Portanto, a = 0, b = 3. Encontre mais alguns pontos de controle e desenhe um gráfico dessa função. Calcular quadrado da figura dada pela fórmula: S = F (b) -F (a) = F (3) -F (0) = 27 / 2-27 / 3-0 + 0 = 13,5-9 = 4,5.





5


Exemplo II. Identificar quadrado figura, delimitada pelas linhas: y = x² e y = 4x. Encontre os antiderivados para essas funções. Este será F (x) = 1 / 3x³ para a função y = x² e G (x) = 2x2 para a função y = 4x. Usando o sistema de equações, encontre as coordenadas dos pontos de interseção da parábola y = x2 e a função linear y = 4x. Existem dois desses pontos: (0; 0) e (4; 16).





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Encontre pontos de controle e grafique as funções fornecidas. É fácil ver que o desejado quadrado é igual à diferença de duas figuras: o triângulo formado pelas linhas retas y = 4x, y = 0, x = 0 e x = 16 e curvilíneo trapezoide, delimitada pelas linhas y = x², y = 0, x = 0 e x = 16.





7


Calcule a área dessas figuras usando a fórmula: S1 = G (b) -G (a) = G (4) -G (0) = 32-0 = 32 e S² = F (b) -F (a) = F (4 ) -F (0) = 64 / 3-0 = 64/3. E assim, quadrado da figura desejada S é S1-S2 = 32-64 / 3 = 32/3.




























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