Dica 1: Como encontrar a integral
Dica 1: Como encontrar a integral
O conceito de integral está diretamente relacionado ao conceito de uma função antiderivada. Em outras palavras, para encontrar a integral da função indicada, é necessário encontrar uma função em relação à qual o original será uma derivada.
Instruções
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Integral refere-se aos conceitos de matemáticaanálise e representa graficamente a área do trapezoide curvilíneo, delimitada na abcissa pelos pontos limitantes de integração. Encontrar a integral de uma função é muito mais difícil do que encontrar sua derivada.
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Existem vários métodos para computar o incerto integral: integração direta, introdução sob o signo do diferencial, método de substituição, integração por partes, substituição Weierstrass, teorema de Newton-Leibniz, etc.
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A integração direta envolve redução por meio de simples transformações do original integral ao valor da tabela. Por exemplo: ∫dy / (sin²y · cos²y) = ∫ (cos²y + sin²y) / (sin²y · cos²y) dy = ∫dy / sin²y + ∫dy / cos²y = -ctgy + tgy + C.
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O método de introdução sob o signo do diferencial ou substituiçãovariável é a declaração de uma nova variável. Neste caso, a integral original se reduz a uma nova integral que pode ser transformada em uma forma tabular pelo método de integração direta: Deixe a integral ∫f (y) dy = F (y) + C e alguma variável v = g (y), então: ∫f ( y) dy -> ∫f (v) dv = F (v) + C.
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Algumas substituições simples devem ser lembradas para facilitar o trabalho com este método: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b); sinydy = -d (aconchegante); cosydy = d (siny).
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Exemplo: ∫dy / (1 + 4 · y²) = ∫dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · ∫d (2 · y) / (1 + (2 · y) ²) = 1/2 · arctg2 · y + C.
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A integração por partes é feita de acordo com a seguinte fórmula: ∫udv = u · v - ∫vdu. Exemplo: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = -y · aconchegante + siny + C.
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Uma integral definitiva na maioria dos casosé encontrado pelo teorema de Newton-Leibniz: ∫f (y) dy no intervalo [a; b] é F (b) -F (a). Exemplo: Encontre ∫y · sinydy no intervalo [0; 2π]: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2π · cos2π + sin2π) - (-0 · cos0 + sin0) = -2π.
Dica 2: como calcular a integral de uma função
Integral o cálculo é parte do matemáticoanálise, cujos conceitos básicos são a função primitiva e integral, suas propriedades e métodos computacionais. O significado geométrico desses cálculos é encontrar a área do trapézio curvilíneo delimitada pelos limites de integração.
Instruções
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Como regra geral, o cálculo da integral reduz-se a trazer o integrando para uma forma tabular. Existem muitas integrais de mesa que facilitam a solução de tais problemas.
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Existem várias maneiras de trazer a integral para uma forma conveniente: integração direta, integração por partes, método de substituição, introdução sob o signo do diferencial, substituição de Weierstrass, etc.
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O método de integração direta éredução sequencial da integral na forma tabular por meio de transformações elementares: ∫ coss² (x / 2) dx = 1/2 • ∫ (1 + cos x) dx = 1/2 • ∫dx + 1/2 • ∫cos xdx = 1 / 2 • (x + sin x) + C, onde C é uma constante.
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A integral possui um conjunto de valores possíveisprocedendo da propriedade da antiderivada, ou seja, a existência de uma constante de soma. Assim, a solução encontrada no exemplo é geral. Uma solução particular da integral é uma constante comum para um valor definido, por exemplo, C = 0.
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A integração por peças é usada quando o integrando é um produto de funções algebraicas e transcendentais. A fórmula do método é ∫udv = u • v - ∫vdu.
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Uma vez que as posições dos fatores no produto não importam, então como função É melhor escolher a parte da expressão, que, depois da simplificação, é simplificada. Exemplo: ∫x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x² / 2 · ln x - ∫x² / 2 · dx / x = x² / 2 · ln x - x² / 4 + C.
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A introdução de uma nova variável é a recepção de um métodosubstituição. Neste caso, o próprio integrando muda e seu argumento: ∫x · √ (x - 2) dx = [t = x-2 → x = t² + 2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t² + 2) · t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t³ / 3 + C = [x = t² + 2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.
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O método de introdução sob o signo do diferencialenvolve a mudança para uma nova função. Deixe ∫f (x) = F (x) + C e u = g (x), então ∫f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Exemplo: ∫ (2 · x + 3) ²dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ²d (2 · x + 3) = 1/6 · (2 x x 3) ³ + C.
