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Como resolver o problema da geometria, na condição de qualSão apenas o perímetro e os ângulos? Claro, se estamos falando de um triângulo angular agudo ou de um polígono, então esse problema sem saber o comprimento de um dos lados não pode ser resolvido. No entanto, se for um triângulo ou retângulo retangular, então você pode encontrar seus lados pelo perímetro dado. O retângulo tem longo e amplitude. Se você desenhar uma diagonal de um retângulo, você podeache que ele divide o retângulo em dois triângulos retangulares. A diagonal é uma hipotenusa, e o comprimento e a largura são as pernas desses triângulos. Em um quadrado que é um caso particular de um retângulo, a diagonal é a hipotenusa de um triângulo isósceles retangular.

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Suponha que haja um retangulartriângulo com os lados a, b e c, para o qual um dos ângulos é igual a 30 e o segundo é 60. A figura mostra que a = c * sin? e b = c * cos ?. Sabendo que o perímetro de qualquer figura, incluindo o triângulo, é igual à soma de todos os lados, obtemos: a + b + c = c * sin? + C * cos + c = pIz esta expressão pode encontrar o lado desconhecido c, que é a hipotenusa para um triângulo. Então, como está o ângulo? = 30, após a transformação obtemos: c * sin? + C * cos? + C = c / 2 + c * sqrt (3) / 2 + c = p Segue-se que c = 2p / [3 + sqrt (3)] Correspondentemente, a = c * sin? = P / [3 + sqrt (3)], b = c * cos? = P * sqrt (3) / [3 + sqrt (3)]

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Como mencionado acima, a diagonal do retângulo divide-o em dois triângulos retangulares com ângulos de 30 e 60 graus. Uma vez que o perímetro do retângulo é p = 2 (a + b), amplitude a e longo b do retângulo pode ser encontrado, procedendo do fato de queA diagonal é a hipotenusa de triângulos retangulares: a = p-2b / 2 = p [3- sqrt (3)] / 2 [3 + sqrt (3)] b = p-2a / 2 = p [1 + sqrt (3)] / 2 [3+ sqrt (3)] Estas duas equações são expressas em termos do perímetro do retângulo. Eles calculam o comprimento e largura deste retângulo, levando em consideração os ângulos resultantes ao executar sua diagonal.

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Use para encontrar a área do triângulouma das fórmulas usando funções trigonométricas, se os valores de um ou vários ângulos no triângulo são conhecidos. Por exemplo, para um valor conhecido do ângulo (α) e os comprimentos dos lados que o tornam (B e C), a área (S) pode ser determinada pela fórmula S = B * C * sin (α) / 2. E com os valores conhecidos de todos os ângulos (α, β e γ) e o comprimento de um lado em adição (A), podemos usar a fórmula S = A2 * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (α)). Se, além de todos os ângulos, o raio (R) do círculo circunscrito for conhecido, use a fórmula S = 2 * R² * sin (α) * sin (β) * sin (γ).

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Se os ângulos não são conhecidos, entãoencontrando a área de um triângulo, você pode usar fórmulas sem funções trigonométricas. Por exemplo, se a altura (H) for conhecida, extraída de um lado cujo comprimento também é conhecido (A), use a fórmula S = A * H / 2. E, se os comprimentos de cada lado forem dados (A, B e C), primeiro encontre o semiperímetro p = (A + B + C) / 2 e, em seguida, calcule a área do triângulo usando a fórmula S = √ (p * (p -A) * (p-B) * (p-C)). Se além dos comprimentos dos lados (A, B e C), o raio (R) do círculo circunscrito é conhecido, então use a fórmula S = A * B * C / (4 * R).

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Para encontrar a área de um retângulo, você também podeuse funções trigonométricas - por exemplo, se você conhece o comprimento de sua diagonal (C) e o valor do ângulo que faz com um lado (α). Nesse caso, use a fórmula S = C² * sin (α) * cos (α). E se você conhece os comprimentos das diagonais (C) e o ângulo que eles fazem (α), use a fórmula S = C² * sin (α) / 2.

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Sem funções trigonométricas na buscaO quadrado do retângulo pode ser dispensado, se os comprimentos de seus lados perpendiculares (A e B) forem conhecidos, pode-se aplicar a fórmula S = A * B. E se o comprimento do perímetro (P) e um lado (A) for dado, use a fórmula S = A * (P-2 * A) / 2.

Você precisará

• - calculadora;
• - Uma folha de papel e um lápis.

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Lembre-se do dividendo, do divisor e do quociente. O primeiro termo indica um número que é divisível por outro. O número de divisão é chamado de divisor, e o resultado é chamado de quociente. Em vários exemplos, ainda há um resíduo. É formado se o dividendo não for um múltiplo do divisor, mas não é necessário executar ações com frações simples ou decimais.

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Rotular o dividendo desconhecido como x. Os dados conhecidos devem ser escritos por números ou caracteres alfabéticos. Por exemplo, uma tarefa pode ser assim: x: a = b. Neste caso, a e b podem ser qualquer número, ambos inteiros e fracionários. Privado como um número inteiro significa que a divisão é feita sem um restante. Para encontrar um dividendo, multiplique o quociente pelo divisor. A fórmula será assim: x = a * b.

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Se o divisor ou o quociente não for um número inteiro,lembre-se das singularidades da multiplicação de frações simples e decimais. No primeiro caso, os numeradores e os denominadores são multiplicados. Se um número é um número inteiro e o outro é uma fração simples, o numerador do segundo é multiplicado pelo primeiro. Os decimais são multiplicados exatamente da mesma forma que números inteiros, mas o número de dígitos à direita da vírgula é somado, com o zero final sendo levado em consideração.

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Você pode encontrar e um exemplo, quando um privadoescrito com um número inteiro, mas com um restante. A fórmula parece assim: x: a = b (aust.c). Lembre-se do que é um resíduo e como ele é formado. Por exemplo, você precisa de 15 dividido por 4. Você pode obter dois resultados. No primeiro caso, no caso privado, obtemos 3 ¾ ou 3.75. No segundo exemplo, isto parece: 15: 4 = 3 (ost.3). Digamos que você não conhece o dividendo, e o exemplo parece x: 4 = 3 (esquerda 3). Primeiro, não preste atenção ao restante. Multiplique o quociente pelo divisor, como no primeiro caso. Neste caso, você receberá 3 * 4 = 12. Adicione o resto 3: 12 + 3 = 15 ao resultado.

Você precisará

• - um retângulo;
• - régua;
• - um lápis;
• - Tesoura.

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Um retângulo é uma figura geométrica, na qual os quatro cantos são retos e os pares de lados são paralelos entre si. Lados opostos retângulo ao longo do comprimento entre eles são os mesmos, e entre pares - diferentes. O quadrado difere da figura anterior apenas na medida em que tem todos os quatro lados o mesmo.

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Para fazer quadrado do retângulo, você pode usar uma régua e um lápis. Por exemplo, as partes retângulo são iguais a 30 cm (comprimento) e 20 cm (largura). Então quadrado terá lados com um valor menor, que é de 20 cm. Medida no lado superior alto retângulo 20 cm. Execute a mesma ação, mas apenas com a parte inferior. Conecte os pontos resultantes usando a régua. Se necessário, corte o excesso, resultando em quadrado com lados 20 cm.

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Make quadrado do retângulo mesmo que não existamacessórios de desenho. Coloque um retângulo na sua frente e dobre um dos seus ângulos retos (isto pode ser qualquer ângulo) estritamente na metade. Se você colocar a forma resultante no lado longo, então haverá um trapezoide retangular, visualmente composto de um triângulo e outro retângulo. Dobre o retângulo resultante em um triângulo(o último será duplo devido ao papel dobrado), suavizar com os dedos e cortá-lo ou rasgá-lo suavemente. Expandir o papel, que se representará quadrado. Do pequeno restante retângulo você pode obter quadrado, apenas um tamanho menor. Os métodos podem usar os mesmos.

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Um retângulo pode ter um pouco diferentedimensões, por exemplo, 40x20 cm, ou seja, o comprimento é exatamente 2 vezes a largura. Neste caso, tome uma régua e mande no lado longo 20 cm (superior e inferior), conecte os pontos obtidos e divida pela metade. Haverá dois idênticos quadradoa. Se é sabido de forma confiável que em um retângulo apenas uma proporção de comprimento e largura (2: 1), basta dobrar a figura geométrica duas vezes e depois cortá-la. A propósito, para garantir que a relação seja realmente 2: 1 sem uma régua, para isso, qualquer ângulo retângulo Dobre ao meio. Em seguida, execute a mesma ação, mas apenas no outro lado (simétrico para o primeiro canto). Se, como resultado de todas essas manipulações, um triângulo retangular acabar, então a proporção dos lados é na verdade 2: 1.

Você precisará

• -linearidade;
• - um lápis;
• -Calculador.

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Um retângulo é um quadradinho cujoTodos os ângulos são iguais a 90 graus. Suas dimensões são determinadas pelo comprimento dos lados. Tem uma série de propriedades: - os lados opostos são iguais e paralelos - as diagonais são iguais e dividem-se ao meio no ponto de interseção - podem ser divididas em dois triângulos de ângulo reto iguais; - rode o retângulo, você pode descrever um círculo cujo diâmetro é igual ao comprimento de sua diagonal.

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A área do retângulo éO produto de festas que pertencem a um canto. É denotado pela letra latina S. Se houver um retângulo com um comprimento e uma largura b, a fórmula da área tem a forma: S = a × b. Esta é a fórmula mais comum e elementar.

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Você pode encontrar a área se você tiver dados sobre issoperímetro. O perímetro de um retângulo é igual à soma de seus lados multiplicado por dois: P = (a + b) × 2. Se no problema é conhecido e um lado, então devemos usar a seguinte fórmula: S = a × ((P-2a) / 2)

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Você também pode usar o cálculo da áreatriângulo direito. É igual ao produto da metade das pernas. A hipotenusa será uma diagonal de um retângulo, e as pernas serão laterais. Para encontrar sua área, é necessário multiplicar o valor obtido por dois. Esta opção é adequada para aqueles que sabem como encontrar a área do triângulo.

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Para encontrar a área pode estar envolvida efunções trigonométricas. A diagonal pode ser encontrada pela fórmula: d = √ (a2 + b2). Os ângulos entre as diagonais são os seguintes: α = 2arctg (a / b), β = 2arctg (b / a), α + β = 180 °. Se o comprimento das diagonais eo ângulo entre elas forem conhecidos, a área é dada pela fórmula: S = d2 • sin (α / 2) • cos (α / 2).

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Se o retângulo estiver inscrito em um círculo, sua diagonal será igual ao raio desse círculo. E a área pode ser encontrada da seguinte forma: S = a × √ (R ^ 2-a ^ 2).

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Um quadrilátero no qual todos os lados são iguais é chamado de quadrado. Sua área é igual ao comprimento de seus lados na praça. Você também pode encontrá-lo como o quadrado de sua diagonal dividido por dois.

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A maneira mais fácil de calcular a área retângulo (S) no caso em que as condições iniciais dar informação sobre o comprimento (H) e a largura (W) forma. Com este conjunto de parâmetros simplesmente multiplicar-los: S = W * H.

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Um pouco mais difícil é o cálculo da área (S)Esta figura, se o comprimento de apenas um dos seus lados (W) é conhecido, bem como qualquer uma das diagonais (D). Por definição, ambas as diagonais do retângulo são iguais, portanto, para calcular a área, considere um triângulo composto de um lado de um comprimento conhecido e uma diagonal. Este é um triângulo retângulo em que a diagonal é a hipotenusa, e o lado é a perna. Use o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do lado perdido e reduza a fórmula àquela descrita no primeiro passo. Segue-se do teorema que o comprimento da perna desconhecida deve ser igual à raiz quadrada da diferença entre os comprimentos quadrados da diagonal e o lado conhecido. Substitua este valor na fórmula do primeiro passo em vez do comprimento do retângulo e você obtém a fórmula S = W * √ (D²-W²).

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Um caso mais complexo é o cálculo da áreaUm retângulo dado pelas coordenadas de seus vértices em um espaço bidimensional. A solução do problema pode ser reduzida à fórmula da primeira etapa - para isso, é necessário calcular os comprimentos de dois lados adjacentes da figura. Este valor para cada um deles pode ser calculado considerando os triângulos formados pelo lado e suas projeções no eixo das abscissas e ordenadas. Cada um desses triângulos será retangular, o lado em si será sua hipotenusa e ambas as projeções das pernas. Usando o mesmo teorema de Pitágoras, calcule o valor desejado para ambos os lados.

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Suponha que os dois lados de um retânguloum ponto comum (isto é, o seu comprimento e largura) são dadas as coordenadas de três pontos A (símbolos X-, Y,), B (X₂, Y₂) e C (X₃, Y₃). O quarto ponto não pode ser considerado - suas coordenadas não afetam a área da figura. O comprimento da projeção do lado AB no eixo das abscissas será igual à diferença das coordenadas correspondentes desses pontos (X₂-X₁). Similarmente, o comprimento da projeção no eixo das ordenadas é determinado: Y₂-Y₁. Assim, o comprimento do lado, de acordo com o teorema de Pitágoras podem ser encontradas, como a raiz quadrada da soma dos quadrados dos estas quantidades: √ ((X₂-símbolos X-) ² + (Y₂-Y,) ²). Faça a mesma fórmula para o lado BC: √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²). Substituir as expressões obtidos para a largura e a altura do rectângulo na fórmula do primeiro passo: S = √ ((X₂-símbolos X-) ² + (Y₂-Y,) ²) * √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²).

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Vale a pena esclarecer o que se entende aquiencontrar uma raiz antiderivada cujo módulo n seja um número g tal que todas as potências deste número módulo n sejam tomadas sobre todos os números relativamente primos para n. Matematicamente isto pode ser expresso da seguinte forma: se g é uma raiz primitiva módulo n, então para qualquer inteiro tal que gcd (a, n) = 1, existe um número k tal que g ^ k ≡ a (mod n).

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Na etapa anterior, um teorema foimostra que, se o menor número de k, para que g ^ k ≡ 1 (mod n), é igual a Φ (n), então g - esta é uma raiz primitiva. Por isso, é claro que k é um indicador g. Para qualquer um, o teorema de Euler - a ^ (Φ (n)) ≡ 1 (mod n) é válido - portanto, para verificar se g é uma raiz primitiva, basta verificar que para todos os números Φ (n) inferiores d, g ^ d ≢ 1 (mod n). No entanto, esse algoritmo é bastante lento.

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Do teorema de Lagrange podemos concluir queo expoente de qualquer dos números módulo n é o divisor Φ (n). Isso simplifica a tarefa. Basta verificar que, para todos os divisores apropriados d | N (n), temos g ^ d ≢ 1 (mod n). Este algoritmo é muito mais rápido que o anterior.

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Fatore o número Φ (n) = p_1 ^ (a_1) ... p_s ^ (a_s). Prove que no algoritmo descrito na etapa anterior, como d basta considerar apenas números da seguinte forma: Φ (n) / p_i. De fato, seja um divisor próprio arbitrário Φ (n). Então, obviamente, existe um j tal que d | Φ (n) / p_j, isto é, d * k = Φ (n) / p_j.

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Mas se g ^ d 1 (mod n), então teríamosg ^ (Φ (n) / p_j) ^ g ^ (d * k) ≡ (g ^ d) ^ k ≡ 1 ^ k ≡ 1 (mod n). Ou seja, verifica-se que entre os números da forma Φ (n) / p_j haveria uma para a qual a condição não seria satisfeita, o que, de fato, deveria ser provado.

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O algoritmo para encontrar a raiz antiderivada, comomaneira, vai ficar assim. Primeiro é Φ (n), então é fatorado. Depois que todos os números g = 1 ... n são ordenados, e para cada um deles todos os valores Φ (n) / p_i (mod n) são considerados. Se, para o g atual, todos esses números são diferentes de um, isto é g e é a raiz primitiva desejada.

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Se assumirmos que o número Φ (n) tem O (log Φ (n)),e a exponenciação é realizada usando um algoritmo de exponenciação binária, isto é, O (log ⁡n), você pode descobrir o tempo de execução do algoritmo. E também é O (Ans * log ⁡Φ (n) * log⁡n) + t. Aqui, t é o tempo de fatoração do número Φ (n), e Ans é o resultado, isto é, o valor da raiz primitiva.

Como calcular a área de um retângulo

Exemplo de cálculo