Dica 1: como encontrar o extremum
Dica 1: como encontrar o extremum
Extremos representam os valores máximo e mínimo da função e relacionam-se às suas características mais importantes. Extremos estão em pontos críticos de funções. Além disso, a função no extremo do mínimo e máximo muda de direção de acordo com o sinal. De acordo com a definição, a primeira derivada da função no ponto extremum é zero ou ausente. Assim, a busca por extrema de uma função consiste em dois problemas: encontrar a derivada para uma determinada função e determinar as raízes da sua equação.
Instruções
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Anote a função dada f (x). Determine sua primeira derivada f '(x). Equite a expressão derivada resultante para zero.
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Resolva a equação. As raízes da equação serão os pontos críticos da função.
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Determine quais pontos críticos -mínimo ou máximo - as raízes são obtidas. Para fazer isso, encontre a derivada secundária f '' (x) da função original. Substitua nele os valores dos pontos críticos e calcule a expressão. Se a segunda derivada da função no ponto crítico for maior que zero, então esse será o ponto mínimo. Caso contrário, o ponto máximo.
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Calcule o valor da função original no obtidopontos mínimos e máximos. Para fazer isso, substitua seus valores na expressão da função e computa. O número resultante determinará o extremum da função. E, se o ponto crítico fosse um máximo, o extremum da função também será um máximo. Também no ponto crítico mínimo, a função atingirá o mínimo de extremum.
Dica 2: Como encontrar o extremum de uma função de duas variáveis
Por definição, o ponto M0 (x0, y0) é chamado de ponto máximo local (mínimo) função dois variáveis z = f (x, y) se f (x, y) f (x0, y0) se mantém em alguma vizinhança do ponto U (x0, y0) para qualquer ponto M (x, y)). Esses pontos são chamados extremums função. No texto, as derivadas parciais são indicadas de acordo com a Fig. 1.
Instruções
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OBSERVAÇÃO. Derivados privados função z = f (x, y) pode não existir no pontoextremum, portanto, pontos de um possível extremum não são apenas pontos estacionários, mas também pontos em que não existem derivadas parciais (correspondem ao ponto de superfície - o gráfico função).
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Então: a) se Q> 0, então a função tem um extremum no ponto (x0, y0), e para f '' (x0, y0) 0) é um mínimo local; b) se Q
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Para encontrar o extremum função dois variáveis podemos propor o seguinte esquema: primeiro, há pontos estacionários função. Então, nesses pontos, suficientecondições de extremum. Se a função não tem derivadas parciais em alguns pontos, então, nestes pontos, também pode haver um extremum, mas condições suficientes não serão mais aplicáveis.
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Como Q (0, 0) 0, portanto, no ponto (1/3,1/3) existe um extremum. Levando em consideração que a derivada secundária (em relação a xx) em (1/3, 1/3) é maior que zero, é necessário decidir que esse ponto é um mínimo.
Dica 3: Como encontrar o maior valor mínimo de uma função
O excelente matemático alemão Karl Weierstrassprovou que, para cada função contínua em um segmento, existe o maior e menor valor nesse intervalo. A tarefa de determinar o maior e menor valor de uma função tem um amplo valor aplicado na economia, matemática, física e outras ciências.
Você precisará
- folha limpa de papel;
- caneta ou lápis;
- livro de texto sobre matemática superior.
Instruções
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Deixe a função f (x) ser contínua e definida em um determinado intervalo [a; b] e tem algum número (finito) de pontos críticos nela. Em primeiro lugar, encontramos a derivada da função f "(x) em relação a x.
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Equite a derivada da função em zero para determinar os pontos críticos da função. Não se esqueça de determinar os pontos em que a derivada não existe - eles também são críticos.
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A partir do conjunto de pontos críticos encontrados, selecionamos aqueles que pertencem ao intervalo [a; b]. Calculamos os valores da função f (x) nesses pontos e nas extremidades do segmento.
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A partir do conjunto de valores encontrados da função, selecionamos os valores máximo e mínimo. Estes são os maiores e mais pequenos valores da função no intervalo.
Dica 4: Como encontrar intervalos de monotonicidade e extremum
O estudo do comportamento de uma função com um complexodependência do argumento, é realizada com a ajuda de um derivado. Pela natureza da mudança na derivada, pode-se encontrar pontos críticos e áreas de crescimento ou diminuição da função.
Instruções
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Em diferentes partes do plano numérico, a funçãocomporta-se de forma diferente. Quando o eixo y intersecta a função, a função muda de sinal, passando pelo valor zero. O aumento monótono pode ser substituído por uma diminuição na passagem da função através de pontos críticos-extremums. Encontre extremums da função, pontos de interseção com eixos de coordenadas, áreas de comportamento monótono - todos esses problemas são resolvidos na análise do comportamento da derivada.
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Antes do estudo do comportamento da função Y =F (x) estimar o intervalo de valores válidos do argumento. Considere apenas os valores da variável independente "x", na qual a existência da função Y é possível.
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Verifique se a função dada édiferenciável no intervalo considerado do eixo numérico. Encontre a primeira derivada da função dada Y "= F" (x). Se F "(x)> 0 para todos os valores do argumento, então a função Y = F (x) nesse intervalo aumenta.) A asserção inversa também é verdadeira: se no intervalo Fn (x) <0, então nesta seção a função diminui monotonicamente.
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Para encontrar os extremos, resolva a equaçãoF "(x) = 0. Defina o valor do argumento x₀ em que a primeira derivada da função é 0. Se a função F (x) existe no valor x = x₀ e é igual a Y₀ = F (x₀), então o ponto resultante é um extremum.
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Para determinar é o extremum encontrado(x) da função original Encontre o valor da segunda derivada no ponto x 0. Se F "(x₀)> 0, então x₀ é um ponto mínimo. Se F "(x₀) <0, então x₀ é um ponto máximo da função.
