Como reduzir a equação de uma curva para a forma canônica
Como reduzir a equação de uma curva para a forma canônica
Quando a questão é levantada sobre a redução da equaçãocurva para a forma canônica, então, como regra, significamos curvas de segunda ordem. Uma curva plana da segunda ordem é uma linha descrita por uma equação da forma: Aqui A, B, C, D, E, F são algumas constantes (coeficientes), onde A , B, C são simultaneamente não iguais a zero.
Instruções
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De uma vez é necessário fazer uma reserva que a redução paraA forma canônica no caso mais geral é conjugada com a rotação do sistema de coordenadas, o que exigirá uma quantidade suficiente de informações adicionais. A rotação do sistema de coordenadas pode ser necessária se o coeficiente B for diferente de zero.
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Existem três tipos de curvas de segundo ordem: Elipse, hiperbola e parábola. A equação canônica da elipse é: (x ^ 2) / (a ^ 2) + (y ^ 2) / (b ^ 2) = 1. A equação canônica da hipérbole: (x ^ 2) / (a ^ 2 ) - (y ^ 2) / (b ^ 2) = 1. Aqui a e b são as semiaxas da elipse e a hipérbole. A equação canônica da parábola é 2px = y ^ 2 (p é simplesmente seu parâmetro). O procedimento de redução na forma canônica (para o coeficiente B = 0) é extremamente simples. As transformações idênticas são realizadas para isolar os quadrados completos, se necessário, dividindo ambos os lados da equação por um número. Assim, a solução reduz a redução da equação na forma canônica e a elucidação do tipo da curva.
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Exemplo 1. 9x ^ 2 + 25y ^ 2 = 225. Converta a expressão para a forma: (9x ^ 2) / 225) + (25y ^ 2) / 225) = 1, (9x ^ 2) / (9 * 25) + (25y ^ 2) / (9 * 25) = 1 (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1, (x ^ 2) / (5 ^ 2) + (y ^ 2) / (3 ^ 2) = 1. Esta é uma elipse com semiaxes a = 5, b = 3. Exemplo 2. 16x ^ 2-9y ^ 2-64x-54y-161 = 0Adicionando a equação a um quadrado completo em x e mais y e transformando-o em forma canônica, obtenha: (4 ^ 2) (x ^ 2) -2 * 8 * 4x + 8 ^ 2- (3 ^ 2) (y ^ 2) -2 * 3 * 9y- (9 ^ 2) -161-64 + 81 = 0, (4x-8) ^ 2- (3y + 9 ) ^ 2-144 = 0, (4 ^ 2) (x-2) ^ 2- (3 ^ 2) (y + 3) ^ 2 = (4 ^ 2) (3 ^ 2). (x-2) ^ 2 / (3 ^ 2) - (y + 3) ^ 2 / (4 ^ 2) = 1. Esta é a equação da hipérbole com o centro no ponto C (2, -3) e os semi-eixos a = 3, b = 4.
